縮放理論(scaling theory)

Rushbrook scaling law

在發現有6個臨界指數後接下來的問題是，這些指數是互相獨立的嗎？George Stanley Rushbrooke說這些指數不是互相獨立的，只有其中兩個指數是獨立的，所以這6個指數中我們只需要解出其中兩個剩下的就都知道了。

靜態縮放假設(The static scaling hypothesis)

在沒有外部磁場\(H\)時，磁化強度\(M\)略小於於\(T_c\)，

\[M(t,h=0)= \begin{cases} 0 &,t>0\\ \pm A \lvert t \rvert ^\beta &,t<0 \end{cases}\] 以及沿著臨界等溫線的行為 \[\begin{aligned} M(h)\rvert _{t=0}= \pm B \lvert h \rvert ^{\frac{1}{\delta}} \end{aligned}\] 其中，通常\(t =\frac{T-T_c}{T_c}\)且\(h=\frac{H}{k_BT}\)。
Benjamin Widom注意到這些結果都來自於 \[M(t,h)= \begin{cases} t^\beta F^+_M(h/t^\Delta) &,t>0\\ (-t)^\beta F^-_M(h/(-t)^\Delta) &,t<0 \end{cases}\] 這理論上只適用於\(\lvert h \rvert \ll 1\)和\(\lvert t \rvert \ll 1\)的情況，但發現對於其他的\(\lvert h \rvert\)和\(\lvert t \rvert\)也是可以用的。下面這是關於實驗數據的部分

時間反演對稱性

根據\(M(t,h)\)的時間反演對稱性 \[\begin{aligned} M(t,h)=-M(t,-h) \end{aligned}\] 所以 \[\begin{aligned} F^{\pm}_M(x)=-F^{\pm}_M(-x) \end{aligned}\] 假設當\(h\to 0\)時會和\(h=0\)的結果一樣，那剛剛的\(M(t,h)\)就會變成 \[M(t,0)= \begin{cases} 0 &,t>0\\ (-t)^\beta F^-_M(0) &,t<0 \end{cases}\] 因此，我們要求\(F^+_M(0)=0\)和\(F^-_M(0)=\)非零的常數
我們可以對\(M(t,h)\)進行微分，並令\(H = 0\)來得到等溫磁化率。 \[\begin{aligned} \chi_T\rvert _{H=0}=\frac{\partial M}{\partial H} \biggr|_{H=0} = \frac{1}{k_BT}\frac{\partial M}{\partial H} \biggr|_{h=0}\\ \chi_T=\frac{1}{k_BT}\frac{\lvert t \rvert^\beta}{\lvert t \rvert^\Delta}\frac{dF^\pm_M}{dx}(x) \biggr|_{x=0} \sim \lvert t \rvert^{\beta-\Delta}F^{\prime \pm}_M(0) \end{aligned}\] 如果假設\(F^{\prime \pm}_M(0) \neq 0\)或者\(F^{\prime \pm}_M(0) \neq \infty\)就可以得到 \[\begin{aligned} \beta-\Delta=-\gamma \end{aligned}\] 當然上式也可以寫為 \[\begin{aligned} \\ \Delta=\beta+\gamma \\ \end{aligned}\] 現在考慮一個情況，當\(t\to 0\)和\(h\to 0\)時，\(F^{\pm}_M\)這個參數中的\(h/\lvert t \rvert^\Delta\)就會趨近於無限大，但是我們希望在要求\(t\to 0\)和\(h\to 0\)時\(h/\lvert t \rvert^\Delta(0,h)\)是有限的，而從\(\delta\)的部份我們可以知道 \[\begin{aligned} M(0,h) \sim \frac{1}{\delta} \end{aligned}\] 為了得到這個結果，所以先假設\(F^{\pm}_M(x)\)的形式為 \[\begin{aligned} F^{\pm}_M(x) \sim x^\lambda \end{aligned}\] 令\(x\to \infty\)時 \[\begin{aligned} M(0,h) \sim \lvert t \rvert^\beta \left(\frac{h}{\lvert t \rvert^\Delta} \right)^\lambda \sim \lvert t \rvert^{\beta-\Delta \lambda}h^\lambda \end{aligned}\] 當\(t\to \infty\)時如果\(\beta-\Delta \lambda >0\)就會得到\(M\to 0\)，如果\(\beta-\Delta \lambda <0\)就會得到\(M\to \infty\)，但是這兩個在物理上是不被允許的，因此就可以知道一定不會是這兩個而是 \[\begin{aligned} \beta-\Delta \lambda =0 \end{aligned}\] 為了讓\(M(t,h)\)和\(t\)無關所以就直接令\(t=0\)，讓\(M(t,h)\)變為 \[\begin{aligned} M(0,h) \sim h^\lambda \end{aligned}\] 因此 \[\begin{aligned} \lambda = \frac{1}{\delta} \end{aligned}\] 以及在\(x\to \infty\)時\(F^{\pm}_M(x)\)會變為 \[\begin{aligned} F^{\pm}_M(x) \sim x^{\frac{1}{\delta}} \end{aligned}\] 最後就可以得到 \[\begin{aligned} \Delta=\beta / \lambda = \beta \delta \end{aligned}\] 在代入\(\Delta=\beta+\gamma\)的部分就可以寫為 \[\begin{aligned} \\ \beta \delta = \beta + \delta \\ \end{aligned}\]

其他縮放假設的形式

自由能的縮放假設(Scaling Hypothesis for the Free Energy)

\[\begin{aligned} f_s(t,h)=t^{2-\alpha}F_f\left(\frac{h}{t^\Delta} \right) \end{aligned}\] 透過微分可以得到磁化強度 \[\begin{aligned} M=-\frac{1}{k_BT}\frac{\partial f_s}{\partial h} \sim t^{2-\alpha - \Delta}F^\prime_f\left(\frac{h}{t^\Delta} \right) \end{aligned}\] 當\(h \to 0\)時\(M\)會趨近於\(t^\beta\)，所以就會得到 \[\begin{aligned} \beta=2-\alpha - \Delta \end{aligned}\] 將\(M\)再微分一次就可以得到等溫磁化率 \[\begin{aligned} \chi_T \sim t^{2-\alpha - \Delta}F^{\prime \prime}_s\left(\frac{h}{t^\Delta} \right) \end{aligned}\] 當\(h \to 0\)時\(\chi_T\)會趨近於\(t^{-\gamma}\)，所以就會得到 \[\begin{aligned} 2-\alpha - 2\Delta=-\gamma \end{aligned}\] 一樣代入\(\Delta\)後就可以將上式改寫為 \[\begin{aligned} \\ \alpha+2\beta+\gamma=2 \\ \end{aligned}\]

Josephson scaling law

\[\begin{aligned} G(r,t,h)=\frac{1}{r^{d-2+\eta}}F_G\left(rt^\nu,\frac{h}{t^{\Delta}} \right) \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \langle M(r)M(0) \rangle = G(r)+\langle M(r) \rangle \langle M(0) \rangle \end{aligned}\] 當\(h=0\)時 \[\begin{aligned} \langle M(r) \rangle \langle M(0) \rangle = \langle M(r)M(0) \rangle - G(r) \sim \lvert t \rvert^{2\beta},t<0 \end{aligned}\] 令\(r=\lvert t \rvert^{-\nu}\)就可以得到\(G(r,t,h)=\lvert t \rvert^{(d-2+\eta)\nu}F_G(1,0)\)，然後猜測\(\langle M(r) \rangle \langle M(0) \rangle\)的形式應該要長 \[\begin{aligned} \langle M(r) \rangle \langle M(0) \rangle \sim \lvert t \rvert^{(d-2+\eta)\nu}\\ \beta = \frac{\eta}{2}(d-2+\eta) \end{aligned}\] 代入Rushbrook scaling law的\(2\beta=2-\alpha-\gamma\)就可以得到 \[\begin{aligned} 2-\alpha = 2\beta + \gamma = d\nu+\gamma-\nu (2-\eta) \end{aligned}\] 然後使用 \[\begin{aligned} \chi_T &\sim \int G(r,t,h=0)\, d^dr \\ &\sim \int r^{-(d-2+\eta)}F_G(rt^\nu,0)\, d^dr\\ &\sim t^{-\nu(2-\eta)}\int x^{-(d-2+\eta)}F_G(x,0)\, d^dx\\ &\sim -\gamma \end{aligned}\] 最後就可以得到 \[\begin{aligned} \\ \gamma=\nu(2-\eta) \\ \end{aligned}\] 改寫一下形式就可以得到Josephson scaling law \[\begin{aligned} \\ 2-\alpha=d\nu \\ \end{aligned}\]

RG

這有點太多了..下次..