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RG
平均場論(mean field theory)並不能準確預測臨界指數(critical exponents)，並且因為會發散的緣故，透過替平均場論增加微擾的方法也失敗了，現在要解釋縮放理論是如何根據發散相關長度(diverging correlation length)的存在而得出的，L.P. Kadanoff覺得發散相關長度可能代表著Hamiltonian的耦合常數與定義階次參數的長度尺度之間存在關係。此外，L.P. Kadanoff的觀點並不能用來解決關於臨界指數的計算。K.G. Wilson闡述並完成了L.P. Kadanoff的論點，顯示如何計算不同長度尺度的耦合常數之間的關係，並提出了重整化群(renormalization group)(RG)的理論，因此就能夠更準確的計算臨界指數，也提供了一個理解普遍性的自然框架。
重正化群的概念
先考慮一個由Hamiltonian描述的系統 \[\begin{aligned} \mathcal{H} \equiv - \beta H_\Omega = \sum_nK_n\Theta_n\{S\} \end{aligned}\] 其中\(K_n\)是耦合常數，\(\Theta_n\{S\}\)是局部算子，且它們是自由度為 \(\{S\}\)的函數。現在讓我們考慮一下它在粗粒度化短波長自由度的變換下如何變化，為長波長自由度留下有效的Hamiltonian，這代表的意思應該是原本只能考慮短距離之間的影響，但現在RG理論希望為長距離的交互作用留下空間在我們考慮通用哈密頓量\(\mathcal{H}\)的相應過程。 我們將這樣的變換稱為RG轉換\(R_l\)，假設在\(R_l\)下耦合常數\(K \equiv [K]\)的集合變成 \[\begin{aligned} \equiv R_l[K] \qquad l>1 \end{aligned}\] \(R_l\)描述了耦合常數如何隨著定義局部算子的長度尺度的變化而變化通常\(R_l\)是一種非常複雜的非線性轉換。 由於\(l>1\)因此沒有反矩陣的轉換。我們期望ising model的Hamiltonian的兩種不同形式可以產生非常相似的block spin Hamiltonians，並且我們猜測這是一個非常普遍的特徵。不同\(l>1\)的變換\(R_l\)確實形成一個半群(semigroup)：\(l=l_1\)和\(l=l_2\)的兩個連續變換應該相當於\(l_1l_2\)這種相乘的尺度變化： \[\begin{aligned} &= R_{l_1}[K]\\ [K^{\prime \prime}] &= R_{l_2}[K^\prime]\\ &= R_{l_2}R_{l_1}[K] \end{aligned}\] 因此 \[\begin{aligned} R_{l_1l_2}[K]&= R_{l_2}R_{l_1}[K] \end{aligned}\] 計算\(R_l\)的方法可能有很多種，按問題而定，這裡先寫下它的配分方程 \[\begin{aligned} Z_N[K]=Tre^{\mathcal{H}} \end{aligned}\] 並定義一個參數\(g\)，與每個自由度的free energy有關 \[\begin{aligned} g[K]\equiv \frac{1}{N}logZ_N[K] \end{aligned}\] RG轉換會讓原本的自由度減少\(l^d\)，讓自由度由\(N\)變為\(N^\prime\)，也就是\(N^\prime = N/l^d\)，並且由block變數(block variables)\(\{S_I^\prime \}\)描述，其中\(I=1...N^\prime\)，並且都對應到對應的Hamiltonians \(\mathcal{H}^\prime_{N^\prime}\)，這是透過在自由度\(\{S_i\}\)上進行部分追蹤來保持區塊自由度\(\{S_I^\prime \}\)固定來實現的： \[\begin{aligned} e^{\mathcal{H}^\prime_{N}\{[K^\prime],S_I^\prime\}}&=Tr^\prime_{\{S_i\}}e^{\mathcal{H}_{N}\{[K],S_i\}}\\ &=Tr_{\{S_i\}}P(S_i,S_I^\prime)e^{\mathcal{H}_{N}\{[K],S_i\}} \end{aligned}\] 其中\(P(S_i,S_I^\prime)\)是一個投影算子，它允許方程式(9.46)中的跡不受限制。投影算子\(P(S_i,S_I^\prime)\)的構造使得粗粒度自由度\(S_I^\prime\)具有相同的範圍值為\(S_i\)。
奇點的來源
為了消除熱力學極限\(N\to \infty\)中熱力學系統的所有自由度，所以要做無限次的RG轉換，但用這些方式會產生一些奇點(singular)，這裡有個例子來說明下這個奇點怎麼產生的。例如在一個位能場\(V(x)\)中運動的粒子會受到很強的阻尼力，因此慣性的部分就可以忽略不計了，而粒子的位置用\(X(t)\)表示，因此他們之間的關係就會長這樣 \[\begin{aligned} \frac{dX}{dt}=-V^\prime(X) \end{aligned}\] 如果選擇一個合適的單位就可以讓摩擦係數為\(1\)，概念上跟讓\(k_B\)變成\(1\)一樣，接著假設粒子在\(x<x_C\)的位子釋放，那他不就會滾到\(x_A\)點嗎，反之粒子在\(x>x_C\)的位子釋放，那他不就會滾到\(x_B\)點，因此粒子位置的函數會有兩個，對於初始位置\(x_0\)來說，最終位置的函數是不連續的(\(X(t,x_0)\)這個函數對於\(t\)是有限時連續，對於\(t\)是無限時不連續)，因此可以知道奇點並不是是由於\(V(x)\)的瑕疵而產生的，而是由於無限的時間所導致的，因此奇點的來源源自於無限時間導致放大了初始條件。
不動點(fixed point)
假設RG轉換是\(R_l[K]\)，那RG轉換的不動點(fixed point)是\([K^*]\)，並且滿足 \[\begin{aligned} =R_l[K^*] \end{aligned}\] 在RG轉換後長度尺度減少了\(l\)，對於耦合常數的任何特定值可以計算相關長度\(\xi\) \[\begin{aligned} \xi [K^\prime]=\xi[K]/l \end{aligned}\] 並且在RG轉換後系統會遠離臨界點，而在某一個不動點上 \[\begin{aligned} \xi[K^*]=\xi[K^*]/l \end{aligned}\] 其實這就意味著\(\xi[K^*]\)只能為零或無限大，我們將\(\xi=\infty\)的不動點(fixed point)稱為臨界不動點(critical fixed point)，將\(\xi=0\)的不動點稱為平凡不動點(trivial fixed point)，通常來說RG轉換會有好幾個不動點，每個不動點都有自己的範圍(domain)，概念上就是剛剛的例子，粒子在\(x<x_C\)的位子釋放，他就會滾到\(x_A\)點，而他的不動點範圍就是\(x<x_C\)，耦合常數空間中位於不動點的範圍內的所有點，在經過無限次的RG轉換後最終都會到達不動點。
不動點附近的RG流
接下來要討論可以從不動點範圍內經過RG轉換會到達不動點的這個現象可以知道些甚麼，先從下式開始
\[\begin{aligned}
K_n=K^*_n+\delta K_n
\end{aligned}\]
上式讓起始的Hamiltonian會接近不動點的Hamiltonian，也就是讓耦合常數等於不動點Hamiltonian的耦合常數，\(\mathcal{H}=\mathcal{H}[K^*]\equiv
\mathcal{H}^*\)，也就是\(\mathcal{H}=\mathcal{H}^*+\delta
\mathcal{H}\)，接下來對他做RG轉換\([K^\prime]=R_l[K]\) \[\begin{aligned}
K_n^\prime=K^\prime_n[K]\equiv K^*_n+\delta K^\prime_n
\end{aligned}\] 將\(\delta
K^\prime_n\)做泰勒展開可以得到 \[\begin{aligned}
K_n^\prime(K^*_1+\delta K_1,K^*_2+\delta
K_2,\cdot\cdot\cdot)=K^*_n+\sum_m \frac{\partial K^\prime_n}{\partial
K_m} \biggr|_{K_m=K^*_m}\cdot\delta K_m+O[(\delta K)^2]
\end{aligned}\] 所以 \[\begin{aligned}
\delta K^\prime_m = \sum_m M_{nm}\delta K_m
\end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned}
M_{nm}\equiv \frac{\partial K^\prime_n}{\partial K_m} \biggr|_{K=K^*}
\end{aligned}\] 是不動點\(K^*\)附近的線性RG變換，矩陣\(M\)是實數，通常它是不對稱的，必須區分左特徵向量(left
eigenvectors)和右特徵向量(right eigenvectors)，因此\(M\)不可對角化，且特徵值不一定是實數。為簡單起見，RG轉換假設\(M\)是對稱的。非對稱矩陣的部分最後再做些小修改就好，反正大概是這樣處理。現在使用線性的RG變換\(M^{(l)}\)來研究不動點附近的RG流(不動點範圍內做無限次RG轉換會到達不動點的過程)，其中\(l\)表示RG轉換中的比例係數，\(\Lambda_{(l)}^{(\sigma)}\)表示特徵值，\(e_n^{(\sigma)}\)表示特徵向量，其中\(\sigma\)用來標記特徵值，下標的\(n\)用來標記向量\(e\)的分量，因此可以得到 \[\begin{aligned}
M_{nm}^{(l)}e_m^{(\sigma)}=\Lambda^{(\sigma)} e_n^{(\sigma)}
\end{aligned}\]
因為方程式為一個半群(semigroup)，按之前講過關於半群的定義可以知道它會符合下面的關係
\[\begin{aligned}
M^{(l)}M^{(l^\prime)}=M^{(ll^\prime)}
\end{aligned}\] 因此 \[\begin{aligned}
\Lambda_l^{(\sigma)}\Lambda_{l^\prime}^{(\sigma)}=\Lambda_{ll^\prime}^{(\sigma)}
\end{aligned}\] 那如果要求解上式的話，其中一個方式是設\(l^\prime=1\)就可以得到\(\Lambda_1^{(\sigma)}=1\)，對於\(l^\prime=1\)時求解\(\Lambda_l^{(\sigma)}\)可以得到 \[\begin{aligned}
\Lambda_{(l)}^{(\sigma)}=l^{y_\sigma}
\end{aligned}\] 其中\(y_\sigma\)是未知的參數，但與\(l\)這個參數無關。
接下來問\([\delta K]\)在\(M\)下會如何改變，我們將\([\delta K]\)擴展成\(M\)的特徵向量，然後看看\([\delta
K]\)的分量是如何在特徵向量上變大或變小。 \[\begin{aligned}
\delta K=\sum_\sigma a^{(\sigma)}e^{(\sigma)}
\end{aligned}\] 將\([K]\)寫成向量\(K=(K_1,K_2,\cdot\cdot\cdot)\)，並且假設特徵向量彼此正交就可以得到係數\(a^{(\sigma)}\) \[\begin{aligned}
a^{(\sigma)}=e^{(\sigma)}\cdot \delta K
\end{aligned}\] 這裡可以注意的是當矩陣\(M\)不對稱時，正交通常不成立。而當我們用線性RG轉換\(M\)時，我們發現 \[\begin{aligned}
\delta K^\prime&=M\delta K\\
&=M\sum_\sigma a^{(\sigma)}e^{(\sigma)}\\
&=\sum_\sigma a^{(\sigma)}\Lambda^{(\sigma)} e^{(\sigma)} \equiv
\sum_\sigma a^{(\sigma)\prime} e^{(\sigma)}
\end{aligned}\] 因此將\(a^{(\sigma)\prime}\)定義為\(\delta K^\prime\)在方向\(e^{(\sigma)}\)上的投影在這裡非常重要，並且它告訴我們\(\delta K\)的某些部份在\(M^{(l)}\)下增加，而其它部分則會減小，如果我們按特徵值的絕對值大小進行排序
\[\begin{aligned}
\left \lvert \Lambda_1 \right \rvert \geq \left \lvert \Lambda_2 \right
\rvert \geq \left \lvert \Lambda_3 \right \rvert \cdot\cdot\cdot
\end{aligned}\] 那我們可以將它區分為三種情況
(1)\(\left \lvert \Lambda^{(\sigma)} \right
\rvert > 1\)即\(y^\sigma>0\)，這表示\(a^{(\sigma)\prime}\)隨著\(l\)的增加而增加
(2)\(\left \lvert \Lambda^{(\sigma)} \right
\rvert < 1\)即\(y^\sigma<0\)，這表示\(a^{(\sigma)\prime}\)隨著\(l\)的增加而減小
(3)\(\left \lvert \Lambda^{(\sigma)} \right
\rvert = 1\)即\(y^\sigma=0\)，這表示\(a^{(\sigma)\prime}\)不隨著\(l\)改變
這三種情況的意義在於經過\(M^{(l)}\)的多次疊代，只有沿著\(e^{(\sigma)}\)分量的\(\delta K\)才是重要的，其他方向的\(\delta
K\)將會減小或是保持在固定值，因此就不重要。
RG如何解釋縮放
RG如何解釋縮放行為，從一個簡單的例子開始，即只有一個耦合常數的系統，可以將其視為溫度(或等效的參數例如\(K = J/k_BT\))，然後在RG轉換\(R_l\)下，\(T\)轉換為\(T^\prime=R_l(T)\)，在不動點時則為\(T^*=R_l(T^*)\)，並且在不動點附近進行線性化就可以得到 \[\begin{aligned} T^\prime-T^*&=R_l(T)-R_l(T^*)\\ &\simeq \Lambda_l(T-T^*)+O[(T-T^*)^2] \end{aligned}\] 當 \[\begin{aligned} \Lambda \equiv \frac{\partial R_l}{\partial T} \biggr|_{T=T^*} \end{aligned}\] 因為半群的特性所以 \[\begin{aligned} \Lambda_l\Lambda_{l^\prime}=\Lambda_{ll^\prime} \end{aligned}\] 因此我們就會有 \[\begin{aligned} \Lambda_l=l^{y_t} \end{aligned}\] 其中\(t_t\)是由\(\Lambda_l\Lambda_{l^\prime}=\Lambda_{ll^\prime}\)決定的指數，在這個例子中，\(T^*\)確實是臨界溫度。而如果我們考慮系統初始溫度高於臨界溫度的情況。先定義 \[\begin{aligned} t=\frac{T-T^*}{T^*} \end{aligned}\] 那這樣的話上面的\(T^\prime-T^*=R_l(T)-R_l(T^*)\)就會變成 \[\begin{aligned} t^\prime=tl^{y_t} \end{aligned}\] 現在對它做RG轉換\(n\)次，得到 \[\begin{aligned} t^{(n)}=(l^{y_t})^nt \end{aligned}\] 這描述了在\(n\)倍尺度變化下\(l\)如何變化。並且為了將這個東西與臨界指數連結起來，要考慮相關長度如何變換。經過一次 RG 轉換後，\(\xi^\prime = \xi /l\)，因此經過\(n\)次變換後 \[\begin{aligned} \xi(t)=l^n\xi(t^{(n)}) \end{aligned}\] 但\(t^{(n)}\)的部分由\(t^{(n)}=(l^{y_t})^nt\)中得到，把它都代進去後就可以得到 \[\begin{aligned} \xi(t)=l^n\xi(tl^{ny_t}) \end{aligned}\] 可以注意的是這裡的\(l\)可以是任意數，而不必是整數，但需要滿足 \[\begin{aligned} l^n=(b/t)^{1/y_t} \end{aligned}\] \(b\)是比\(1\)大很多的任一正數。 因此 \[\begin{aligned} \xi(t)=(b^{-1}t)^{-1/y_t}\xi(b) \qquad t \to 0 \end{aligned}\] 這裡\(\xi (b)\)是遠大於\(T_c\)的溫度的相關長度，其中微擾很小，並且用常見的近似方法還不錯（例如微擾理論）。 比較上式根據臨界指數\(\nu\)的定義\(\xi \sim t^{-\nu}\)，因此可以解得 \[\begin{aligned} \nu = \frac{1}{y_t} \end{aligned}\] 至此就可以得到\(y_t\)的形式 \[\begin{aligned} y_t=\frac{1}{l}ln\Lambda_l=\frac{1}{l}ln\left [ \frac{\partial R_l}{\partial T} \biggr|_{T^*} \right ] \end{aligned}\] 因此，了解\(R_l\)或效果還不錯的類似近似，讓我們能夠計算\(\Lambda_l\)、\(y_t\)以及\(\nu\)。這是RG的基本想法，反正大概這樣。
連續對稱系統
我們對連續對稱系統的討論是基於\(O(n)\)模型，它表示為具有\(n\)個分量\((n
> 1)\)的階次參數的系統，且由有效Hamiltonian控制 \[\begin{aligned}
-\mathcal{H} = \int \left [ \frac{1}{2}(
\overset{\rightharpoonup}\nabla \overset{\rightharpoonup}S)^2 +
\frac{1}{2}r_0S^2+\frac{1}{4}u_0S^4-
\overset{\rightharpoonup}h\cdot \overset{\rightharpoonup}S \right ] \,
d^dr
\end{aligned}\] 其中的符號定義為 \[\begin{aligned}
( \overset{\rightharpoonup}\nabla \overset{\rightharpoonup}S)^2
&\equiv \sum_{i=1}^d\sum_{\alpha=1}^n\left [ \frac{\partial S_\alpha
( \overset{\rightharpoonup}r)}{\partial x_i} \right ]^2\\
S^2&\equiv\sum_{\alpha=1}^n\left [ S_\alpha(
\overset{\rightharpoonup}r) \right ]^2\\
S^4&\equiv(S^2)^2
\end{aligned}\] 配分函數的部分是 \[\begin{aligned}
Z = \int D\overset{\rightharpoonup}Se^{\mathcal{H}} \qquad
D\overset{\rightharpoonup}S\equiv \prod_{\alpha=1}^nDS_\alpha
\end{aligned}\] \(O(n)\)模型是指在零外場中，當在空間\(\overset{\rightharpoonup}r\)中的每個點處，序參數場\(\overset{\rightharpoonup}S(\overset{\rightharpoonup}r)\)在\(n\)維序參數空間中旋轉相同角度時，\(\mathcal{H}\)是不變的。
朗道自由能密度的齊次部分是 \[\begin{aligned}
V(\overset{\rightharpoonup}S)= \frac{1}{2}r_0S^2+\frac{1}{4}u_0S^4
\end{aligned}\] 當\(h =
0\)時，其行為如圖 (11.1) 所示。對於\(r_0 > 0\)，在\(\overset{\rightharpoonup}S =
0\)處有一個最小值，對應於系統的無序高溫階段，而最小值在\(S^2=-r_0/u_0\)當\(r_0<0\)時是簡併的。簡併對應於有序參數空間（非實空間）中的方向，其中系統可能在\(T_c\)以下進行排序。
磁化率的張量
這裡研究具有\(O(n)\)對稱性的系統的響應函數。假設場\(h\)沿著自旋空間中的方向\(n\)施加。然後自旋將沿著該方向排序，磁化向量為 \[\begin{aligned} m_\alpha \equiv \left \langle S_\alpha(x) \right \rangle=mn_\alpha \end{aligned}\] 其中\(m\)是磁化向量\(m\)的大小。 我們可以取n為向量\((1,0,0,...,0)\)，然後定義兩點相關函數 \[\begin{aligned} \hat{G}_\parallel(\overset{\rightharpoonup}k)&=\left \langle \left \lvert S_{1 \overset{\rightharpoonup}k}\right \lvert ^2\right \rangle\\ V\delta_{\overset{\rightharpoonup}k+\overset{\rightharpoonup}k^\prime,0}\delta_{\alpha \beta}\hat{G}_\perp(\overset{\rightharpoonup}k)&=\left \langle S_{\alpha \overset{\rightharpoonup}k}S_{\beta \overset{\rightharpoonup}k^\prime}\right \rangle \qquad \alpha,\beta \geq 2 \end{aligned}\] 前者是縱向相關函數，測量平行於有序方向的有序參數分量之間的相關性，後者是橫向相關函數，測量與有序方向正交的有序參數分量之間的相關性。 相應的磁化率由靜態磁化率和規則給出 \[\begin{aligned} \chi_\parallel=\hat{G}_\parallel(0)\\ \chi_\perp=\hat{G}_\perp(0) \end{aligned}\] 這些縱向和橫向磁化率具有以下意義。 我們定義磁化率張量 \[\begin{aligned} \chi_{\alpha \beta}&\equiv-\frac{\partial^2 f}{\partial h_\alpha \partial h_\beta}\\ &\equiv - \frac{\partial m_\alpha}{\partial h_\beta} \end{aligned}\] 其中\(f\)是單位體積的自由能。 磁化率張量描述了磁化強度的\(\alpha^{th}\)分量如何因外場的\(\beta^{th}\)分量而變化。 由於\(\mathcal{H} \{ S \}\)是\(O(n)\)對稱的，因此\(f\)不能依賴\(h\)的方向。因此 \[\begin{aligned} f&=f(h)\\ h&=\left \lvert \overset{\rightharpoonup}h \right \lvert = \left [ \sum^n_{\alpha=1}h^2_\alpha \right ]^{1/2} \end{aligned}\] 這裡在使用 \[\begin{aligned} \frac{\partial h}{\partial h_\alpha}&=\frac{\partial h}{\partial h_\alpha}\frac{\partial h}{\partial h}\\ &=\frac{h_\alpha}{h}\frac{\partial}{\partial h} \end{aligned}\] 就可得到 \[\begin{aligned} \chi_{\alpha \beta}&=-\frac{\partial }{\partial h_\alpha}\frac{h_\beta}{h}\frac{\partial f}{\partial h}\\ &=-\delta_{\alpha \beta}\frac{1 }{h}\frac{\partial f}{\partial h}-\frac{h_\alpha h_\beta}{ h}\frac{-1}{h^2}\frac{\partial f}{\partial h}-\frac{h_\alpha h_\beta}{ h^2}\frac{\partial^2 f}{\partial h^2}\\ &=-\frac{h_\alpha h_\beta}{ h^2}\frac{\partial^2 f}{\partial h^2}-\frac{1}{h}\frac{\partial f}{\partial h}\left ( \delta_{\alpha \beta}-\frac{h_\alpha h_\beta}{ h^2} \right ) \end{aligned}\] 現在如果令\(\overset{\rightharpoonup}h=h \overset{\rightharpoonup}n\) \[\begin{aligned} \frac{h_\alpha h_\beta}{ h^2}=n_\alpha n_\beta \end{aligned}\] 因此 \[\begin{aligned} \chi_{\alpha \beta}=n_\alpha n_\beta\chi_\parallel(h)+\chi_\perp(h)(\delta_{\alpha \beta}-n_\alpha n_\beta) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \chi_\parallel(h)&=-\frac{\partial^2 f}{\partial h^2}\\ \chi_\perp(h)&=-\frac{1}{ h}\frac{\partial f}{\partial h} = -\frac{m}{h} \end{aligned}\] 接下來要解釋下這些東西的物理意義，因為 \[\begin{aligned} \chi_{\alpha \beta} = - \frac{\partial m_\alpha}{\partial h_\beta} \end{aligned}\] 因此\(\chi_{\alpha \beta}\)的部分意味著，如果探測用的磁場\(h\)與\(m\)方向相同時，磁化率會是\(\chi_\parallel(h)\)，但如果方向垂直時則會是\(\chi_\perp(h)\)。
Goldstone’s Theorem:於\(T < T_c\)時
由剛剛的\(\chi_\perp(h)\)可以知道，對於\(T < T_c\)，當\(h = 0\)
時系統表現出自發對稱破缺，並且在長距離下會產生影響(因為\(m\not =0\))，因此可以知道 \[\begin{aligned}
\chi_\perp(0)^{-1}=0
\end{aligned}\] 把它換成\(\hat{G}\)就是 \[\begin{aligned}
\hat{G}_\perp(k=0)^{-1}=0
\end{aligned}\]
因此可以發現在橫向上系統無限敏感──它需要無窮小的磁場來將磁化方向旋轉為某個有限並且非零的數值。而當我們考慮\(r_0<0\)的位能\(V(S)\)時，有效的Hamiltonian有無限個最小值，每個最小值對應於系統沿不同方向獲得的自發磁化強度。
當產生對稱性自發性破缺時，會出現兩種波動，透過檢查\(V(S)\)，會發現改變\(m\)會產生能量損失。而因為垂直於\(m\)方向上的波動只會改變\(m\)
的方向而不消耗能量，因此可以知道那部分的能量損失就是平行於\(m\)的那個部分。接下來要討論的是剛剛沒放進去的梯度項的部分
第一步
這裡寫下位能後將它微分 \[\begin{aligned}
V(S)&=\frac{1}{2}r_0S_\alpha S_\alpha + \frac{1}{4}u_0 S_\alpha
S_\alpha S_\beta S_\beta\\
\frac{\partial V}{\partial S_\alpha}&=r_0S_\alpha+\frac{1}{4}u_0
(2S_\alpha(S_\beta S_\beta)\cdot2)\\
&=S_\alpha(r_0+u_0S^2)
\end{aligned}\] 對於\(r_0>0\)的部分可以得到(當然這也表示是\(T>T_c\)的情況) \[\begin{aligned}
S_\alpha=0
\end{aligned}\] 對於\(r_0<0\)的部分可以得到(當然這也表示是\(T<T_c\)的情況) \[\begin{aligned}
\left \langle S \right \rangle ^2 \equiv m^2 = -r_0/u_0
\end{aligned}\] 而\(r_0<0\)時定義了\(m^2\)，但沒有定義\(S\)的方向，因此隨便選一些排列方向，例如\(n = (1,0,0, ... , 0)\) \[\begin{aligned}
\left \langle \overset{\rightharpoonup}S \right \rangle = mn
\end{aligned}\] 這裡定義\(\overset{\rightharpoonup}\phi(\overset{\rightharpoonup}r)\)
\[\begin{aligned}
\overset{\rightharpoonup}S(\overset{\rightharpoonup}r) = \overset{\rightharpoonup}m
+ m \overset{\rightharpoonup}\phi(\overset{\rightharpoonup}r)
\end{aligned}\] 第二步
現在將\(\overset{\rightharpoonup}\phi\)分成平行於\(m\)的部分\(\phi_1\)和垂直的部分\(\phi_\perp\) \[\begin{aligned}
\overset{\rightharpoonup}S(\overset{\rightharpoonup}r) = m[\overset{\rightharpoonup}n+\phi_1
\overset{\rightharpoonup}n+ \overset{\rightharpoonup}\phi_\perp]\\
\overset{\rightharpoonup}\phi_\perp = (0,\phi_2,\phi_3,\cdot\cdot\cdot
\phi_n)
\end{aligned}\] 現在就可以利用上式去解出\(V(\overset{\rightharpoonup}S)\) \[\begin{aligned}
S^2/m^2&=1+2\phi_1+\phi_1^2+\phi_\perp^2\\
S^4/m^4&=1+4\phi_1+6\phi_1^2+4\phi_1^3+\phi_1^4+\phi_\perp^4+2\phi_\perp^2+4\phi_\perp^2\phi_1+2\phi_1^2\phi_\perp^2
\end{aligned}\] 解出後可以看到\(V(\overset{\rightharpoonup}S)\)的部分是
\[\begin{aligned}
V(\overset{\rightharpoonup}S)=-\frac{1}{4}\frac{r_0^2}{u_0}-r_0m^2\phi_1^2
\end{aligned}\] 梯度項的部分則是 \[\begin{aligned}
\frac{1}{2}\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla S \right )^2 =
\frac{m^2}{2}\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_1 \right )^2
+\frac{m^2}{2}\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_\perp \right
)^2
\end{aligned}\] 接下來就可以得到有序狀態小波動的\(\mathcal{H}_\phi \{ \phi \}\)了 \[\begin{aligned}
-\mathcal{H}_\phi \{ \phi \} = \frac{m^2}{2} \int \left [ \left
( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_1 \right )^2 +\left
( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_\perp \right )^2 + 2\left \lvert
r_0 \right \lvert \phi_1^2 \right ] +O(\phi_1^3,\phi_1\phi_\perp^2) \,
d^d \overset{\rightharpoonup}r
\end{aligned}\] 第三步
將它做傅立葉轉換後就可以知道\(G\)的部分了 \[\begin{aligned}
-\mathcal{H}_\phi \{ \phi \} = \frac{1}{V}
\sum_{\overset{\rightharpoonup}k}\left [ \frac{1}{2}\left \lvert
\hat{\phi}_{1 \overset{\rightharpoonup}k} \right \lvert^2
\hat{G}_\parallel^0( \overset{\rightharpoonup}k)^{-1}+ \frac{1}{2}\left
\lvert \hat{\phi}_{\perp \overset{\rightharpoonup}k} \right \lvert^2
\hat{G}_\perp^0( \overset{\rightharpoonup}k)^{-1} \right ]
\end{aligned}\] \[\begin{aligned}
\hat{G}_\parallel^0( \overset{\rightharpoonup}k) = \frac{m^{-2}}{2\left
\lvert r_0 \right \lvert +k^2}\\
\hat{G}_\perp^0( \overset{\rightharpoonup}k) = \frac{m^{-2}}{k^2}
\end{aligned}\] 討論的部分可以發現\(\hat{G}_\perp^0(
\overset{\rightharpoonup}k)\)的分母中沒有\(r_0\)項，因此橫向相關函數\(\hat{G}_\parallel^0(
\overset{\rightharpoonup}k)\)在\(T <
T_c\)時會以Power law衰減，縱向相關函數\(\hat{G}_\perp^0(
\overset{\rightharpoonup}k)\)在\(T\)以下以指數衰減
自發性對稱性破缺
具有連續對稱性的系統中自發性對稱性破缺會產生剛度(rigidity)的現象(剛度是表示材料或結構抵抗形變的能力)。這與\(\hat{G}_\parallel^0( \overset{\rightharpoonup}k)\)中Power law密切相關(就是\(r_0\)項) \[\begin{aligned} -\mathcal{H}_\phi = long+\frac{1}{2} \int R\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_\perp (\overset{\rightharpoonup} r) \right )^2 \, d^d \overset{\rightharpoonup}r \end{aligned}\] 在Landau theory反應的強度由\(R = m^2\)決定。因此只有當存在長程有序且\(m=0\)時才會出現剛度(rigidity)的現象，在高溫且對稱中系統就不會有剛度的現象。 然而有效哈密頓量的縱向部分在高溫和低溫階段具有相同的形式，因此必須計算系統的橫向部分才能確定有序的狀態。以下是兩個常見的範例。鐵磁體與順磁體的差異在於自旋的位能，\(\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_\perp \right )^2\)的係數有時稱為spin-wave stiffness。 固體與液體的區別在於它們是否有無限小的靜態剪切力，有效哈密頓量 的類似物是彈性理論的粗粒自由能，對於各向同性固體其形式為 \[\begin{aligned} F = \frac{1}{2} \int \left [ 2\mu u^2_{ij}(\overset{\rightharpoonup}r)+\lambda u_{kk}(\overset{\rightharpoonup}r) \right] \, d^d \overset{\rightharpoonup}r \end{aligned}\] 其中\(u_{ij}(\overset{\rightharpoonup}r)\)是應變張量，\(\mu\)和\(\lambda\)是Lamé coefficients，固態時Lamé coefficients就不會是0，表示有靜態剪切力。
剛度縮放
因為剛度不等於零時表示有自發性對稱性破缺，所以要看看它甚麼時候不是零，從Landau theory利用\(R=m^2\)和\(m\sim(-t)^\beta\)在\(t<0\)時可以得到 \[\begin{aligned} R \sim (-t)^{2\beta} \end{aligned}\] 但那個推論是錯的，因為那部分的區域不適用Landau theory，因此利用自由能密度的單位為\(L^{-d}\)，因此在臨界區域的量綱約等於\(\xi(t)^{-d}\)，\(\phi_\perp\)為無量綱，\(\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \phi_\perp \right )^2\)的量綱為\(L^{-2}\)，因此差不多等於\(\xi(t)^{-2}\)。因此得到就可以得到正確的\(R\) \[\begin{aligned} R\sim\xi^{2-d}\sim(-t)^{\nu(d-2)}\qquad t<0 \end{aligned}\] 下面就是代入以前學到的公式就可以推出下面的東西了 \[\begin{aligned} \alpha +2\beta +\gamma = 2\\ \gamma = \nu(2-\eta) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} R \sim (-t)^{2\beta-\eta\nu} \end{aligned}\]