Kosterlitz - Thouless Transition

在\(n = 2\)和\(d = 2\) 時會有特別的狀況，這裡會引入複數的變數，看起來很像量子力學的波函數 \[\begin{aligned} \psi(\overset{\rightharpoonup}r)=S_1(\overset{\rightharpoonup}r)+iS_2(\overset{\rightharpoonup}r) \end{aligned}\] H的部分是 \[\begin{aligned} -\mathcal{H}= \int \left [\frac{1}{2}\left \lvert \overset{\rightharpoonup}\nabla \psi \right \lvert^2+\frac{u_0}{4} \left(\left \lvert \psi \right \lvert^2-\frac{\left \lvert r_0 \right \lvert}{u_0}\right)^2 \right] \, d^d \overset{\rightharpoonup}r \end{aligned}\] 之前的Landau theory計算出的\(T_c\)大於實際的\(T_c\)，因為Landau theory忽略了能量的漲落，這在臨界點附近影響比較大，因此將存在低於平均場轉變溫度的溫度範圍，就是\(r_0<0\)但還是比任何有序狀態高，在這個範圍內波動的幅度相對於方向的波動小，所以為了更好的近似，所以設定比較大的\(u_0\)和有限值的\(\frac{\left \lvert r_0 \right \lvert}{u_0}\) \[\begin{aligned} \psi(\overset{\rightharpoonup}r)=\sqrt{\frac{\left \lvert r_0 \right \lvert}{u_0}}e^{i\theta(\overset{\rightharpoonup}r)} \end{aligned}\] 這是跟相位有關的H \[\begin{aligned} -\mathcal{H}_\theta=\frac{K}{2}\int\left ( \overset{\rightharpoonup}\nabla \theta \right )^2\,d^2 \overset{\rightharpoonup}r \end{aligned}\] 這裡\(K=\frac{\left \lvert r_0 \right \lvert}{u_0}\)，這種H控制著長波長遠低於\(T_c\)時的物理狀態，假設可以忽略\(\theta\)的週期性，需要設定\(n\)是整數讓\(\theta(r)+2\pi n =\theta(r)\)，並把佩芬函數寫成 \[\begin{aligned} Z=\int^\infty_{-\infty}e^{\mathcal{H}_\theta}D\theta \end{aligned}\] 上面的式子表示關於假設出來自旋波的模型的有序狀態。而自旋的有效交換相互作用為 \[\begin{aligned} J=(k_BT)K \end{aligned}\] 假設有序狀態的波動很小，則將配分函數中的上下限擴展到\(\pm\infty\)數值上就不會差太多。這裡定義一個階參數相關函數 \[\begin{aligned} G( \overset{\rightharpoonup}r) &\equiv \left \langle e^{i[\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]} \right \rangle\\ &=e^{-\frac{1}{2}\left \langle [\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]^2 \right \rangle} \end{aligned}\] 上面第二個等式中，\(\mathcal{H}\)使用了高斯分佈，所以會有 \[\begin{aligned} \left \langle [\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]^2 \right \rangle = \frac{2k_BT}{J}\int_0^\Lambda \frac{d^2 \overset{\rightharpoonup}k}{(2\pi)^2}\frac{1-e^{i \overset{\rightharpoonup}k\cdot \overset{\rightharpoonup}r}}{k^2} \end{aligned}\] 接著因為 \[\begin{aligned} \left \langle \left \lvert \hat{\theta}_{\overset{\rightharpoonup}k} \right \lvert^2 \right \rangle = \frac{2k_BT}{Jk^2} \end{aligned}\] 把\(Z=\int^\infty_{-\infty}e^{\mathcal{H}_\theta}D\theta\)用Bessel function改為下式 \[\begin{aligned} \left \langle [\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]^2 \right \rangle = \frac{2k_BT}{J}\int_0^\Lambda \frac{dk}{2\pi}\frac{1-J_0(kr)}{k} \end{aligned}\] 這會導致漸近的結果 \[\begin{aligned} \left \langle [\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]^2 \right \rangle = \frac{k_BT}{\pi J}ln \frac{r}{\Lambda^{-1}} \qquad \mbox{其中}\qquad r\gg \Lambda^{-1} \end{aligned}\] 因此發現相關函數會長下面這樣 \[\begin{aligned} G(r)=r^{-\eta}\qquad \mbox{其中}\qquad\eta=\frac{k_BT}{2\pi J} \end{aligned}\] 因此最後有個結論，由於\(\left \langle [\theta(\overset{\rightharpoonup}r)-\theta(0)]^2 \right \rangle \sim ln \frac{r}{\Lambda^{-1}}\)的緣故，因此不存在長程有序，並且自旋間的角度偏差隨著距離越遠而逐漸增加，階次相關函數則會衰減至\(0\)，而指數\(n\)的部分並不是一樣的，它取決於\(T\)和\(J\)，總之可以認為自旋模型有\(T=0\)至\(T=\infty\)的臨界線。自旋波的近似最多在低溫下有效，在高溫時預期該系統是一個真正的順磁體，有指數衰減的特性。因此認為真實情況是在低溫下具有Power Law特性但不具有長程有序，以及在高溫下沒有長程有序的指數衰減特性。因此一定在某個中間溫度\(T_{KT}\)處存在相變，也就是Kosterlitz - Thouless Transition的轉變溫度，它和Landau theory的\(T_c\)的關聯性是\(0\leq T \leq T_{KT}\leq T_c\)。

渦流具有以下特性 \[\begin{aligned} \oint \overset{\rightharpoonup}\nabla \theta \cdot d \overset{\rightharpoonup}r = 2\pi n \end{aligned}\] 為了知道上面的漩渦與能量的關係，我們需要知道渦旋場的樣子，就是\(\oint \overset{\rightharpoonup}\nabla \theta \cdot d \overset{\rightharpoonup}r = 2\pi n\)，簡單起見我們將渦旋周圍半徑\(r > a\) 的圓作為邊界，發現\(\overset{\rightharpoonup}\nabla\sim1/r\)，所以可以知道每種渦旋都會有能量 \[\begin{aligned} E_1=\frac{1}{2}J\int(\overset{\rightharpoonup}\nabla\theta)^2 d^2\overset{\rightharpoonup}r = \pi J ln(\frac{L}{\Lambda^{-1}}) \end{aligned}\] 其中 L 是系統的線性尺度，對於無限系統中的單一渦旋，能量是無限種的，但對於一個\(n\)相反的漩渦(pair)它的能量為 \[\begin{aligned} E_{pair}(r)\approx 2 \pi J ln(\frac{L}{\Lambda^{-1}}) \end{aligned}\] 其中\(r\)是vortex separation。Kosterlitz 和 Thouless 認為在低溫下渦旋是成對束縛的，但在高溫下它們變得不受束縛。 我們可以透過製作熵來猜測這是如何發生的。 低溫時單一渦流的能量消耗為\(E_1\)。 大小為\(L\)的系統中單一渦旋的熵大約由下式給出 \[\begin{aligned} S=k_B ln(\frac{L}{\Lambda^{-1}})^2 \end{aligned}\] \((\frac{L}{\Lambda^{-1}})^2\)是漩渦中心可能佔據的晶格位置的數量。 因此孤立的渦旋的自由能是 \[\begin{aligned} F=E_1-TS=(\pi J-2k_BT) ln(\frac{L}{\Lambda^{-1}}) \end{aligned}\] 在低溫時產生渦流的自由能量大小會隨著\(L\to\infty\)而改變，在高溫時有利於產生孤立渦流，因此解離發生在轉變溫度\(T_c\)時 \[\begin{aligned} T_c=\frac{\pi J}{2k_B} \end{aligned}\]